هذه المقالة سوف تستكشف ما هو أساس متعامد المصفوفة وكيفية العثور عليها في MATLAB باستخدام أورث () وظيفة.
ما هي الأسس المتعامدة للمصفوفة
في الجبر الخطي، أساس متعامد لمساحة متجهة V ذات بعد محدود هي الأساس ناقلات متعامدة أين ال ناقلات متعامدة هي متجهات الوحدة المتعامدة مع بعضها البعض، ويكون حاصل ضربها النقطي صفرًا.
خذ بعين الاعتبار المتجهات ذات الوحدتين x و y، سيكونان متعامدين مع بعضهما البعض إذا 'س.ص=0' . ويسمى هذان المتجهان أيضًا ناقلات متعامدة .
لماذا نحتاج إلى حساب الأساس المتعامد؟
أساس متعامد مفيد من حيث إيجاد إسقاط المتجه على متجه آخر أو إيجاد المسافة بين المتجهين. يمكننا أيضًا استخدام أساس متعامد لتقليل خطأ التقريب في عمليات المحاكاة لدينا والسبب الوحيد لذلك هو أن المتجهات في الأساس المتعامد مستقلة عن بعضها البعض، وبالتالي لا يمكن أن ينتشر الخطأ في أحد المتجهات إلى ناقلات أخرى. علاوة على ذلك، فإن العثور على الإحداثيات وإجراء التحويل الخطي يكون أسهل كثيرًا إذا كان الأساس متعامدًا.
كيفية العثور على الأساس المتعامد للمصفوفة في MATLAB؟
في MATLAB، يمكننا العثور على أساس متعامد باستخدام المدمج في أورث () الوظيفة المسؤولة عن تحديد أساس متعامد من مصفوفة معينة. تقبل هذه الوظيفة مصفوفة كمعلمة إلزامية وتوفر مصفوفة كمخرجات تحتوي على أساس متعامد لمصفوفة الإدخال المحددة.
بناء الجملة
ال أورث () يمكن تنفيذ الوظيفة في MATLAB من خلال بناء الجملة التالي:
س = أورث ( أ، تول )
هنا،
- الوظيفة س = أورث(أ) هو المسؤول عن تحديد أساس متعامد لنطاق A حيث تمثل أعمدة مصفوفة الإخراج Q أساس متعامد من المصفوفة A ويرسلون بريدًا عشوائيًا إلى نطاق المصفوفة A. كما أن رتبة A تساوي عدد أعمدة Q.
- الوظيفة س = أورث (أ، تول) هو المسؤول عن تحديد أساس متعامد لنطاق A الذي يحدد التسامح. يتم التعامل مع القيم المفردة لمصفوفة الإدخال A، والتي تكون أقل من التسامح، على أنها صفر من خلال التأثير على عدد أعمدة Q.
مثال 1: كيفية العثور على الأساس المتعامد لمصفوفة الرتب الكاملة في MATLAB؟
يحدد رمز MATLAB هذا أساس متعامد للمصفوفة المربعة المعطاة A ذات الحجم n=3 باستخدام أورث () وظيفة. يجد هذا الرمز أيضًا رتبة المصفوفة A باستخدام رتبة() وظيفة للتحقق من أن مصفوفة الإدخال هي رتبة كاملة.
أ = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;ص = رتبة ( أ )
س = أورث ( أ )
مثال 2: كيفية حساب الأساس المتعامد لمصفوفة ذات رتبة ناقصة في MATLAB؟
في هذا المثال نستخدم أورث () وظيفة للعثور على أساس متعامد للمصفوفة المعطاة ناقصة الرتبة A. المصفوفة A ناقصة الرتبة بسبب الرتبة (ك) <الحجم (أ) .
أ = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;ص = رتبة ( أ )
س = أورث ( أ )
مثال 3: كيفية العثور على الأساس المتعامد لمصفوفة الرتب الكاملة عن طريق تحديد التسامح في MATLAB؟
المثال المعطى يحسب أساس متعامد من المصفوفة المربعة ذات الرتبة الكاملة A ذات الحجم ن = 3 باستخدام أورث () وظيفة مع التسامح الافتراضي. نظرًا لأن A عبارة عن مصفوفة ذات رتبة كاملة، فإن حجم A وQ (أساس متعامد) هو نفسه، وهو 3×3 في هذه الحالة. ثم يحسب المثال أساس متعامد من A عن طريق تحديد قيمة التسامح 0.5 لاعتبار قيم A التي تقل عن 0.5 قيمًا فردية. هناك ثلاث قيم مفردة في A، لذلك A لديها متجهان عموديان متعامدان كما هو موجود في كيوتول مصفوفة.
أ = راند ( 3 ) ;ص = رتبة ( أ )
س = أورث ( أ )
Q_tol = أورث ( أ، 0.5 )
خاتمة
العثور على أساس متعامد يعد الفضاء المتجه مفهومًا مهمًا للجبر الخطي وهو مشكلة رياضية معقدة. ومع ذلك، يمكن حلها بسهولة وكفاءة باستخدام برنامج MATLAB المدمج أورث () وظيفة. لقد عرضت هذه المقالة تنفيذ هذه الوظيفة باستخدام صيغ وأمثلة مختلفة.