الفصل الثاني: الجبر البوليني ومكوناته الحاسوبية المرتبطة به
2.1 العوامل المنطقية الأساسية
افترض أنني (المؤلف) طويل وأنت (القارئ) طويل. إذا سألك شخص ما إذا كان كلانا طويل القامة، فستقول 'نعم' (صحيح). إذا سأل إذا كان كل منا قصيرا، ستقول 'لا' (خطأ). إذا كنت قصيرة وأنا طويل، وسألك إذا كنت أنا أو أنت طويل القامة، ستكون إجابتك 'نعم' (صحيح). إذا سألك إذا كنت أنا وأنت طويلان، فلن يكون لديك إجابة. قد تستمر في القول بأنه لا ينبغي طرح السؤال الأخير أو أن السؤال ليس له إجابة. حسنًا، أريدك (أيها القارئ) أن تعلم أنه اليوم، وفي ظل ظروف معينة، ينبغي طرح هذا السؤال.
في علم الأحياء، الإنسان إما طويل أو قصير. إن الظروف 'البيئية' هي التي تجعل الإنسان متوسط القامة. وقد حدد أحد العلماء، وهو جورج بول، مجموعة من الإجابات أو القواعد لهذا النوع من الأسئلة. سنتعلم هذه القواعد في هذا القسم من الدورة المهنية عبر الإنترنت (الفصل). تُستخدم هذه القواعد في الحوسبة والبرمجة والإلكترونيات والاتصالات اليوم. في الواقع، لولا هذه القواعد، لما كان لديك جهاز كمبيوتر، كما هو شائع اليوم؛ ولن يكون لديك أيضًا برمجة، كما هو شائع اليوم.
صحيحة أو خاطئة
إن عبارة اللغة البشرية البسيطة إما أن تكون صحيحة أو خاطئة في حد ذاتها. فإذا قلت: 'أنا طويل'، فإما أن يكون صحيحاً أو كاذباً. فإذا قلت: 'أنت طويل'، فإما أن يكون صادقاً أو كاذباً. إذا كنت طويل القامة وأنت قصير القامة، وتم طرح السؤال عما إذا كنت أنا وأنت طويل القامة، في المنطق البولياني، يجب إعطاء إجابة صحيحة أو خاطئة. أي من هذين ينبغي أن تعطى؟ لم يجيب بول حقًا على هذا السؤال. لقد توصل ببساطة إلى مجموعة من القواعد التي يجب علينا اتباعها. والخبر السار هو أنه عندما تتبع هذه القواعد في سياقها الصحيح، فلن يكون لديك أي غموض. وبفضل هذه القواعد، أصبح لدينا أجهزة كمبيوتر وبرمجة اليوم. القواعد أعطيت لك الآن. لا يمكن تفسير القواعد حقًا؛ أنت فقط تقبلهم. القواعد تحت ثلاثة عناوين: و، أو، وليس.
و
يمكن طرح السؤال إذا كنت أنا وأنت طويل القامة. يتم بعد ذلك الجمع بين طولي وطولك من خلال مجموعة القواعد AND. هذه هي قواعد AND التي يجب اتباعها:
كاذبة وكاذبة = كاذبة
خطأ وصحيح = خطأ
صحيح وخطأ = خطأ
صحيح وصحيح = صحيح
الآن، دع الطويل يكون صحيحا والقصير يكون كاذبا. هذا يعني أنني إذا كنت قصيرًا وأنت قصير، فأنا وأنت قصيران. إذا أنا قصير وأنت طويل، أنا وأنت قصيران؛ هذه هي الإجابة المنطقية التي عليك قبولها. إذا أنا طويل وأنت قصير، فأنا وأنت قصيران. إذا أنا طويل وأنت طويل، أنت وأنا طويلان. كل هذه قواعد منطقية عليك (القارئ) قبولها.
أو
يمكن طرح السؤال إذا كنت أنت أو أنا طويل القامة. يتم بعد ذلك دمج طولي وطولك من خلال مجموعة القواعد OR. هذه هي قواعد OR التي يجب اتباعها:
خطأ أو خطأ = خطأ
خطأ أو صحيح = صحيح
صحيح أو خطأ = صحيح
صحيح أو صحيح = صحيح
مرة أخرى، دع الطويل يكون صحيحا والقصير يكون كاذبا. هذا يعني أنه إذا كنت قصيرًا أو أنت قصيرًا، فأنت أو أنا قصير. إذا أنا قصير أو أنت طويل، أنت أو أنا طويل. إذا أنا طويل أو أنت قصير، أنت أو أنا طويل. إذا كنت طويل القامة أو أنت طويل القامة، فأنت أو أنا طويل القامة. كل هذه قواعد منطقية عليك قبولها.
لا
الآن، في المنطق البولياني، توجد حالتان فقط (الإجابات المحتملة). أي أنك إذا لم تكن طويل القامة فأنت قصير. إذا لم تكن قصيرًا، فأنت طويل؛ لا شيء آخر. هذه هي القواعد التي لا يجب اتباعها:
ليس خطأ = صحيح
ليس صحيحا = خطأ
افترض أن لديك سلسلة (أو زنبرك) يمكنك تمديدها (سحبها). بينما الوتر في حالته الطبيعية، لو قلت: ليس قصيرًا، لتمددته؛ هذا هو التفسير. بينما الخيط ممتد، إذا قلت: 'ليس طويلاً'، فإنك ستسمح له بالتقلص؛ هذا هو التفسير.
يجب عليك حفظ جميع القواعد المحددة في فئاتها المختلفة.
أكثر من عاملين
في لغة الكمبيوتر، يطلق على كل من AND وOR وNOT عامل التشغيل. بالنسبة إلى عامل التشغيل NOT، فأنت تحتاج فقط إلى مُعامل واحد (قيمة للعامل) للحصول على إجابة. بالنسبة لعوامل التشغيل AND أو OR، يمكن أن يكون لديك أكثر من معاملين. تُظهر الحالات السابقة مُعاملين لـ AND وOR. يمكن أن يكون لديك ثلاثة معاملات لـ AND كما يلي:
كاذبة وكاذبة وكاذبة = كاذبة
خطأ وخطأ وصحيح = خطأ
وهذان خطان؛ لكل منها عاملين AND. يوجد في الواقع تسعة أسطر عندما تكون المعاملات ثلاثة. مع عامل التشغيل AND، السطر الأخير فقط (السطر التاسع) يساوي صحيحًا؛ جميع الأسطر السابقة خاطئة. لاحظ أنه مع وجود معاملين لـ AND، يظل السطر الأخير فقط صحيحًا؛ جميع الأسطر الثلاثة السابقة خاطئة. عندما تكون المعاملات أربعة، يكون هناك 16 سطرًا والسطر الأخير فقط هو الصحيح بالنسبة لعامل التشغيل AND.
يختلف نمط AND ونمط OR. مع ثلاثة معاملات لاثنين من عوامل تشغيل OR، هناك أيضًا تسعة أسطر، والسطر الأول فقط، هذه المرة، خطأ. السطر الثاني إلى التاسع صحيح. لاحظ أنه مع وجود معاملين لـ OR، يظل السطر الأول فقط صحيحًا؛ جميع الأسطر الثلاثة المتبقية خاطئة. عندما تكون المعاملات أربعة لـ OR، يكون هناك أيضًا 16 سطرًا.
يتعامل عامل NOT مع مُعامل واحد فقط. ليس كاذبا صحيحا وليس صحيحا كاذبا.
2.2 جدول الحقيقة للمعاملين ومكوناتهما الإلكترونية
في الرياضيات هناك موضوع اسمه الجبر. وقد رأينا جزءاً يسيراً منه في الفصل السابق. هناك نوع من الجبر يسمى الجبر البوليني. في الجبر البوليني، يتم تحديد الصواب من خلال الرقمين الأساسيين وهو 1 ويتم تحديد الخطأ من خلال الرقمين الأساسيين وهو 0.
مكونات وحدة الكمبيوتر الداخلية هي مكونات إلكترونية. تحتوي وحدة النظام في نظام الكمبيوتر على مكونات إلكترونية رقمية. تتم عملية AND بواسطة مكون إلكتروني صغير يسمى بوابة AND. تتم عملية OR بواسطة مكون إلكتروني صغير يسمى بوابة OR. تتم عملية NOT بواسطة مكون إلكتروني صغير يسمى بوابة NOT. يمكن أن يكون عدد كبير جدًا من هذه البوابات موجودًا في شريحة الدائرة المتكاملة (IC).
ومائدة الحقيقة وبوابتها
يوضح الجدول التالي جدول الحقيقة AND ورمز البوابة AND (الدائرة الصغيرة):
بالنسبة لكل من جدول الحقيقة AND وبوابته، فإن A وB هما متغيران مدخلان. Q هو متغير الإخراج. A هي إما 1 أو 0. B هي إما 1 أو 0. Q هي إما 1 أو 0. جدول الحقيقة AND الذي يحتوي على 1 و0 هو نفس التخطيط السابق للصواب/الخطأ والحقيقة (الجدول). والمعادلة AND هي:
أ . ب = س
حيث النقطة (.) تعني AND (منطقية). يمكن حذف النقطة لتكون AB = Q والتي تعني نفس الشيء (AND).
ملحوظة: البتات الخاصة بـ A وB في الصفوف الأربعة، كأزواج، هي الأرقام الأربعة الأولى في الأساس الثاني بدءًا من 0 (أو 00)، أي 00، 01، 10، 11.
يوضح الجدول التالي جدول الحقيقة OR ورمز بوابة OR (الدائرة الصغيرة) الخاص به:
بالنسبة لكل من جدول الحقيقة OR وبوابته، يعد A وB متغيرين مدخلين. Q هو متغير الإخراج. جدول الحقيقة OR الذي يحتوي على 1 و0 هو نفس تخطيط (جدول) صحيح/خطأ أو صحيح السابق.
المعادلة OR هي:
أ + ب = س
حيث أن + هنا تعني Boolean OR وليس إضافة. تتم قراءة المعادلة على أنها 'A أو B يساوي Q'.
يوضح الجدول التالي جدول NOT Truth ورمز بوابة NOT (الدائرة الصغيرة) الخاص به:
يحتوي جدول NOT Truth أو بوابة NOT على مدخل واحد ومخرج واحد فقط. عندما يكون الإدخال 0، يكون الإخراج 1. وعندما يكون الإدخال 1، يكون الإخراج 0. تقوم بوابة NOT بنوع من الانقلاب. متغير الإخراج هو نفس متغير الإدخال، ولكن مع وجود شريط (مسطّر بشكل زائد). جدول NOT true الذي يحتوي على 1 و0 هو نفس تخطيط (جدول) صحيح/خطأ أو حقيقة السابق.
المعادلة NOT هي:
أ = س
حيث Q = A والشريط فوق A هنا يعني المكمل. مكمل 0 هو 1 ومكمل 1 هو 0. تُعرف بوابة NOT أيضًا باسم البوابة العكسية.
هذه هي جداول الحقيقة الأساسية (أو الجذرية) وبواباتها (الدوائر الصغيرة) في الإلكترونيات الرقمية (مع الجبر البوليني). جداول الحقيقة الثلاثة الأخرى الموضحة في الرسم التوضيحي التالي وبواباتها مخصصة للراحة وتستند إلى جداول الحقيقة الثلاثة السابقة.
يوجد جدول وبوابة حقيقة مشتقان من جدول وبوابة الحقيقة AND. يطلق عليهما جدول الحقيقة NAND (لـ NOT AND) وبوابة NAND المقابلة. جدول الحقيقة NAND وبوابة NAND الخاصة به هما:
للحصول على جدول الحقيقة NAND، انتقل إلى مخرجات جدول الحقيقة AND واستبدل كل رقم بمكمله. مكمل 0 هو 1 ومكمل 1 هو 0. بوابة NAND تشبه بوابة AND، ولكنها تحتوي على دائرة صغيرة قبل خط الإخراج. معادلة NAND هي:
حيث يعني تكملة نتيجة 'أ' و'ب'. يتم تمثيل الشريط (الخط الزائد) في البوابة بدائرة صغيرة. لاحظ أنه يمكن حذف النقطة بين A وB.
يوجد جدول وبوابة حقيقة أخرى مشتقة من جدول وبوابة الحقيقة OR. يطلق عليهما جدول الحقيقة NOR (لـ NOT OR) وبوابة NOR المقابلة. جدول الحقيقة NOR وبوابة NOR الخاصة به هما:
للحصول على جدول الحقيقة NOR، انتقل إلى مخرجات جدول الحقيقة OR واستبدل كل رقم بمكمله. مكمل 0 هو 1 ومكمل 1 هو 0. بوابة NOR تشبه بوابة OR، ولكن بها دائرة صغيرة قبل خط الإخراج. معادلة NOR هي:
أين 
يعني تكملة نتيجة 'أ' أو 'ب'. يتم تمثيل الشريط (الخط العلوي) في البوابة بدائرة صغيرة.
حصريًا أو (XOR)
جدول الحقيقة لبوابة OR هو:
في اللغة الإنجليزية العادية، ليس من الواضح ما إذا كان الصف الأخير من 1 أو 1 يجب أن يعطي 1 أو 0. لذا، في الجبر البوليني، هناك نوعان من جداول الحقيقة OR وبوابتين متقابلتين. مع OR العادي، فإن الصف الأخير من 1 أو 1 يعطي 1. النوع الآخر من OR هو OR الحصري (XOR) حيث تكون الصفوف الثلاثة الأولى هي نفس الصفوف الثلاثة الأولى من OR العادي (بما في ذلك الإخراج). ومع ذلك، بالنسبة للصف الرابع والأخير، 1 أو 1 يعطي 0.
يوضح الجدول التالي جدول الحقيقة XOR ورمز بوابة XOR (الدائرة الصغيرة) الخاصة به:
بالنسبة لكل من جدول الحقيقة XOR وبوابته، يعد 'A' وكذلك 'B' متغيرين مدخلين. 'Q' هو متغير الإخراج.
معادلة XOR هي:
أ ⊕ ب = س
حيث يعني ⊕ هنا Boolean XOR.
العادي OR يعني أحدهما أو كليهما. حصرية أو تعني بدقة أيضاً وليس كلاهما.
2.3 المسلمات البوليانية
المسلمات هي افتراضات يتم على أساسها استخلاص استنتاجات معينة. هناك عشرة مسلمات منطقية متجذرة من معادلات AND وOR وNOT (جداول الحقيقة). وتسمى هذه المعادلات أيضًا بالوظائف. يتم إعادة نسخ الوظائف الأساسية على النحو التالي:
هذه هي الوظائف الأساسية (المعادلات) في الجبر البوليني. المعادلات الثلاث (الوظائف) الأخرى التالية ليست وظائف أساسية:
على الرغم من أن الوظيفة الأخيرة هنا غريبة، إلا أنها لا تعتبر وظيفة أساسية.
المسلمات البوليانية هي كما يلي:
من والوظيفة
1) 0 . 0 = 0
عشرين. 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1
من أو الدالة
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1
من لا وظيفة
9) 0 = 1
10) 1 = 0
ملحوظة: هذه المسلمات هي مجرد خطوط في جداول الحقيقة AND وOR وNOT والتي يتم التعبير عنها بطريقة مستقلة. وينبغي للقارئ أن يحفظ المسلمات المعطاة.
2.4 الخصائص المنطقية
الخاصية هي بمثابة خاصية لشيء ما. الخصائص البوليانية هي معادلات مشتقة من المسلمات البوليانية. في هذا القسم، يتم تقديم الخصائص ببساطة دون اشتقاقاتها ثم يتم استخدامها بعد ذلك. هناك خمسة وعشرون عقاراً تندرج تحت عشرة عناوين على النحو التالي:
خصائص الدالة AND
الخاصية 1:
حيث يمكن أن تكون X 1 أو 0. وهذا يعني أنه بغض النظر عن X، فإن النتيجة دائمًا هي 0.
ملحوظة: لا يجب بالضرورة أن يكون المتغير A أو B أو C أو D. يمكن أن يكون المتغير W أو X أو Y أو Z أو أي حرف آخر.
الخاصية 2:
حيث يمكن أن تكون X 1 أو 0. لاحظ أن الفرق بين الخاصية 1 والخاصية 2 هو أنه على الجانب الأيسر من علامة المساواة لكلا المعادلتين، يتم تبادل موضعي X و0.
الخاصية 3:
إذا كانت X تساوي 0، إذن 0. 1 = 0. إذا كانت X تساوي 1، إذن 1. 1 = 1.
الخاصية 4:
إذا كانت X تساوي 0، إذن 1. 0 = 0. إذا كانت X تساوي 1، إذن 1. 1 = 1. لاحظ أن الفرق بين الخاصية 3 والخاصية 4 هو أنه على الجانب الأيسر من المعادلتين، تكون مواضع يتم تبادل X و 1.
خصائص الدالة OR
الخاصية 5:
حيث X يمكن أن تكون 1 أو 0. وهذا يعني أنه إذا كان X هو 0، فإن النتيجة هي 0. إذا كان X هو 1، فإن النتيجة هي 1.
الخاصية 6:
حيث يمكن أن تكون X 1 أو 0. لاحظ أن الفرق بين الخاصية 5 والخاصية 6 هو أنه على الجانب الأيسر من المعادلتين، يتم تبادل موضعي X و0.
الخاصية 7:
إذا كانت X تساوي 0، فإن 0 + 1 = 1. وإذا كانت X تساوي 1، فإن 1 + 1 = 1.
الخاصية 8:
إذا كانت X تساوي 0، فإن 1 + 0 = 1. وإذا كانت X تساوي 1، فإن 1 + 1 = 1. لاحظ أن الفرق بين الخاصية 7 والخاصية 8 هو أنه على الجانب الأيسر من المعادلتين، تكون مواضع يتم تبادل X و 1.
الخصائص المتعلقة بجمع المتغير مع نفسه أو مكمله
الخاصية 9: 
أي: إذا كانت X تساوي 0، فإن 0. 0 = 0. إذا كانت X تساوي 1، فإن 1 . 1 = 1.
الخاصية 10:
أي: إذا كانت X تساوي 0، إذن 0. 1 = 0. إذا كانت X تساوي 1، إذن 1. 0 = 0.
بالنسبة للمتغيرات المتتالية تصبح هذه الخاصية:
الخاصية 11:
أي: إذا كانت X تساوي 0، فإن 0 + 0 = 0. وإذا كانت X تساوي 1، فإن 1 + 1 = 1 (من OR العادي).
الخاصية 12:
أي: إذا كانت X تساوي 0، فإن 0 + 1 = 1. وإذا كانت X = 1، فإن 1 + 0 = 1.
أي: إذا كانت X تساوي 0، فإن 0 + 1 = 1. وإذا كانت X = 1، فإن 1 + 0 = 1.
تكملة مزدوجة
الخاصية 13:
عندما تكون X على الجانب الأيسر 0، X على الجانب الأيمن تصبح 0. عندما X على الجانب الأيمن تساوي 1، X على الجانب الأيسر تصبح 1. بمعنى آخر، المكملات المزدوجة تعيد القيمة الأصلية.
القانون تبادلي
العقار 14:
وهذا يعني أن تبادل المعاملين الأول والثاني للعامل AND، على الجانب الأيسر من علامة التساوي، لا يهم؛ الجواب لا يزال هو نفسه بعد حدوث التبادل على الجانب الأيسر. يمكن كتابة هذه المعادلة مع حذف النقاط على النحو التالي: XY = YX.
العقار 15:
الشرح هنا هو نفسه الموجود في AND السابقة، ولكنه مخصص لعامل التشغيل OR.
قانون التوزيع
العقار 16:
يوجد هنا ثلاثة متغيرات: X وY وZ. يمكن أن يكون كل متغير إما 1 أو 0. على الجانب الأيسر من رمز التساوي، تعني الأقواس تقييم ما بداخلها أولاً. إذن، AND هي النتيجة مع X. يشير الجانب الأيمن إلى أن X وY معًا، أو X وZ معًا، هما نفس الجانب الأيسر. لاحظ أنه تم حذف عامل التشغيل النقطي لمعامل AND طوال الوقت؛ والمتغيرات المرتبطة لا تزال تعني AND.
العقار 17:
هذه الخاصية هي امتداد للخاصية 16 مع المتغير المضاف W.
القانون الترابطي
العقار 18:
الأقواس تعني تقييم ما بين الأقواس أولاً. لذا، بالنسبة للتعبير الموجود على الجانب الأيسر، إذا كان Y مع Z مضبوطًا على AND أولاً، وX مضبوطًا على AND مع النتيجة، فإن النتيجة النهائية على الجانب الأيسر هي نفس النتيجة النهائية على اليمين -جانب اليد حيث يتم وضع X مع Y أولاً قبل ANDing النتيجة باستخدام Z. لاحظ أنه تم حذف النقاط في المعادلة.
العقار 19:
يتم شرح هذه الخاصية بطريقة مشابهة للخاصية 18، ولكن يتم استخدام عامل التشغيل OR بدلاً من عامل التشغيل AND. لا يتم حذف عامل التشغيل OR + أبدًا من التعبير المنطقي من أجل البساطة. من ناحية أخرى، يمكن حذف عامل التشغيل AND ويمكن ضم المتغيرين.
استيعاب
الخاصية 20:
في هذه المعادلة، بغض النظر عن Y، فإن الجانب الأيمن سيكون دائمًا X (ممتصًا).
العقار 21:
أيضًا، مع هذه المعادلة، بغض النظر عن Y، فإن الجانب الأيمن سيكون دائمًا X (ممتصًا). هذه الخاصية 21 هي نفس الخاصية 20 وهي:
هنا، نستخدم قانون التوزيع وحقيقة أن X.X = X للخاصية 9.
هوية
العقار 22:
هذا يعني أنه بالنسبة للتعبير X + Y، فإن تكملة X أمام Y لا تغير التعبير.
العقار 23:
هذا يعني أنه بالنسبة للتعبير XY، فإن تكملة X ORed مع Y بين قوسين، والتي يتم إجراؤها أولاً، لا تغير تعبير XY.
قانون دي مورجان
العقار 24:
هذا يعني أن بوابة NOR (NOT OR) لها نفس النتيجة مثل ملاحظة المدخلين قبل التعامل معهم.
العقار 25:
هذا يعني أن بوابة NAND (NOT AND) لها نفس نتيجة ملاحظة المدخلين قبل ORing.
الرسوم التوضيحية المقدمة هي 25 خاصية. ويمكن إثباتها عن طريق استبدال جميع القيم المختلفة الممكنة للواحد والصفر، في كل تعبير على الجانب الأيسر، لمعرفة ما إذا تم الحصول على التعبير (أو النتيجة) على الجانب الأيمن. يتم ترك البراهين كتمرين للقارئ.
2.5 تبسيط التعبيرات المركبة
الوظيفتان التاليتان متماثلتان:
Z هو الإخراج وX وW وY هي المدخلات. الأول يحتاج إلى بوابة NAND، وبوابة OR، وبوابة AND، وبوابتين NOT، وبوابة OR، وبوابة NOR. والثاني يحتاج فقط إلى بوابتين AND. الأول عبارة عن معادلة ذات تعبير مركب، على الجانب الأيمن، والذي تم تبسيطه (تقليله) إلى حد التعبير الأيمن الوحيد للمعادلة الثانية.
يؤدي التبسيط أو التخفيض إلى عدد أقل من البوابات من أجل تنفيذ نفس وظيفة الدائرة. يمكن أن تكون هذه الدائرة الأصغر جزءًا من دائرة متكاملة (IC) أو تكون دائرة قائمة بذاتها على سطح اللوحة الأم للكمبيوتر.
عندما تصل دالة (معادلة) إلى عملية التصميم، يجب أن يتم التبسيط لتقليل عدد البوابات وينتهي الأمر بدائرة أرخص. يحتاج التبسيط إلى استخدام واحدة أو أكثر من الخصائص المنطقية الخمسة والعشرين السابقة.
مثال 2.51:
تقليل المعادلة:
ملحوظة: وجود قوسين بجانب بعضهما البعض يعني أن القوسين ANDed (لم تتم كتابة النقطة بينهما بشكل اختياري).
حل:
بالنسبة للحلول، يتم إعطاء المبرر (السبب) لكل خطوة على يمين الخطوة، بين قوسين. وينبغي للقارئ أن يقرأ كل خطوة ومبرراتها. ويجب على القارئ أيضًا الرجوع إلى الخصائص السابقة أثناء قراءته لخطوات تقليل الوظيفة.
مثال 2.52:
تبسيط:
2.6 الحد الأدنى لمجموع المنتجات
الوظيفتان التاليتان متماثلتان:
يُقال إن كلا التعبيرين الأيمن لكلا المعادلتين موجودان في شكل مجموع المنتجات (SP). يُقال إن التعبير السريع موجود في نموذج مجموع المنتج إذا لم يكن به أقواس. ومن الواضح أن الدالة الأولى (المعادلة) تحتاج إلى بوابات أكثر من الدالة الثانية.
لا يزال من الممكن تقليل التعبير الأيمن الأول للحصول على الوظيفة الثانية. لا يمكن تبسيط التعبير الثاني الموجود على الجانب الأيمن أكثر من ذلك، ولا يزال يتم التعبير عنه كمجموع المنتجات ('إضافة' المصطلحات). لا يمكن تبسيط التعبير الثاني الموجود على الجانب الأيمن أكثر من ذلك. لذلك يقال أنه موجود في نموذج الحد الأدنى لمجموع المنتجات (MSP).
مثال 2.61:
قم بإحضار الوظيفة التالية أولاً إلى نموذج مجموع المنتجات ثم إلى نموذج الحد الأدنى لمجموع المنتجات.
حل:
عند حل مثل هذه المسائل، يجب استخدام واحدة أو أكثر من الخصائص الخمس والعشرين السابقة كما هو موضح في هذا الحل:
2.6 الحد الأدنى لمجموع المنتجات
الوظيفتان التاليتان متماثلتان:
يُقال إن كلا التعبيرين الأيمن لكلا المعادلتين موجودان في شكل مجموع المنتجات (SP). يُقال إن التعبير السريع موجود في نموذج مجموع المنتج إذا لم يكن به أقواس. ومن الواضح أن الدالة الأولى (المعادلة) تحتاج إلى بوابات أكثر من الدالة الثانية.
لا يزال من الممكن تقليل التعبير الأيمن الأول للحصول على الوظيفة الثانية. لا يمكن تبسيط التعبير الثاني الموجود على الجانب الأيمن أكثر من ذلك، ولا يزال يتم التعبير عنه كمجموع المنتجات ('إضافة' المصطلحات). لا يمكن تبسيط التعبير الثاني الموجود على الجانب الأيمن أكثر من ذلك. لذلك، يُقال أنه موجود في نموذج الحد الأدنى لمجموع المنتجات (MSP).
مثال 2.61:
قم بإحضار الوظيفة التالية أولاً إلى نموذج مجموع المنتجات ثم إلى نموذج الحد الأدنى لمجموع المنتجات.
حل:
عند حل مثل هذه المسائل، يجب استخدام واحدة أو أكثر من الخصائص الخمس والعشرين السابقة كما هو موضح في هذا الحل:
هذا التعبير الأخير موجود في نموذج مجموع المنتجات (SP)، ولكن ليس في نموذج الحد الأدنى لمجموع المنتجات (MSP). تمت الإجابة على الجزء الأول من السؤال. الحل للجزء الثاني هو كما يلي:
هذه الوظيفة المبسطة الأخيرة (المعادلة) موجودة في شكل MSP، وتحتاج إلى عدد أقل من البوابات للتنفيذ مقارنة بنموذج SP المقابل لها. تذكر: SP تعني مجموع المنتجات بينما يعني MSP الحد الأدنى لمجموع المنتجات.
مثال 2.62:
تحتوي الدائرة التالية على مدخلات X وY وW وZ هو الخرج. قم بإنتاج دالة مجموع المنتجات (SP) (وظيفة الحد الأدنى الواضح لمجموع المنتجات) لـ Z. ثم قم بإنتاج مجموع المنتجات (MSP) الحقيقي الأكثر انخفاضًا (الأصغر). ثم قم بتنفيذ دائرة MSP (ارسم شبكة بوابة MSP).
الشكل 2.61 دائرة البوابات
حل:
قبل أن تبدأ عملية التبسيط، يجب أن يتم الحصول على التعبير الخاص بـ Z بدلالة X وY وW. راجع هذا المثال التوضيحي من الرسم التخطيطي:
هذا هو التعبير عن Z بدلالة X وY وW. بعد ذلك، يمكن إجراء التبسيط إلى MSP الظاهر. MSP الظاهر هو SP.
هذه المعادلة الأخيرة (الدالة) موجودة في شكل SP. ليس صحيحًا الحد الأدنى لمجموع المنتجات (ليس MSP بعد). لذلك، يجب أن يستمر التخفيض (التقليل).
هذه المعادلة الأخيرة (الدالة) هي الحد الأدنى الحقيقي لمجموع المنتجات (MSP). والحد الأدنى لمجموع المنتجات (التصغير الحقيقي) لدائرة البوابات هو:
الشكل 2.62 دائرة بوابة MSP
تعليق
من التحليل في هذا القسم، يمكن ملاحظة أنه ليس من الواضح ما إذا كان مجموع المنتجات هو الحد الأدنى لمجموع المنتجات أم لا. SP ليست مفيدة للغاية. إن MSP مفيد جدًا. هناك طريقة مضمونة للحصول على MSP؛ هو استخدام خريطة كارنو. تقع خريطة Karnaugh خارج نطاق هذه الدورة المهنية عبر الإنترنت.
2.7 المشاكل
يُنصح القارئ بحل جميع المشكلات الموجودة في الفصل قبل الانتقال إلى الفصل التالي.
- قم بإنشاء جداول الحقيقة AND وOR وNOT مع البوابات المقابلة لها.
- اكتب المسلمات البوليانية العشرة في فئاتها المختلفة، مع تسمية الفئات.
- بدون شرح، اكتب الخصائص الستة والعشرين للجبر البوليني في فئاتها المختلفة، مع تسمية الفئات.
- اختصر المعادلة باستخدام الخصائص المنطقية ونقلاً عن الفئات المستخدمة.
- اختصر المعادلة باستخدام الخصائص المنطقية ونقلاً عن الفئات المستخدمة.
- باستخدام الخصائص المنطقية ونقلاً عن الفئات المستخدمة، اختزل المعادلة التالية - أولاً إلى مجموع المنتجات ثم إلى الحد الأدنى لمجموع المنتجات:
- باستخدام الخصائص المنطقية ونقلاً عن الفئات المستخدمة، اختزل المعادلة التالية - أولاً إلى مجموع المنتجات ثم إلى الحد الأدنى لمجموع المنتجات:
