الفصل الثالث: عمليات الأرقام الثنائية في المعالج الدقيق

الفصل الثالث: عمليات الأرقام الثنائية في المعالج الدقيق

3.1 مقدمة

في الكمبيوتر، تتم العمليات الحسابية بنظام 8 بت، أو 16 بت، أو 32 بت، أو 64 بت. رقم مثل 3 في النظام الثنائي هو 11. إذا كانت العملية ستتم في 8 بتات، فهذا يعتبر 00000011؛ يسبقه 0 صفر.

بالنسبة لرقم ثنائي مثل 10000101، فإن البت الأكثر أهمية هو البت الموجود في أقصى اليسار. وهو 1 في هذه الحالة. البت الأقل أهمية هو البت الأقصى على اليمين، والذي لا يزال 1، للرقم. يتم اختصار الجزء الأكثر أهمية كـ MSB. يتم اختصار البت الأقل أهمية كـ LSB.

يتم اختصار BINary digiT كـ BIT ويتم كتابته ببساطة كـ bit. وفي الرقم 10010011، كل واحد أو صفر هو بت. وتسمى مجموعة من أربع بتات عاب. تسمى المجموعة المكونة من ثمانية بتات بايت. يتكون البايت من قطعتين. القضمة السفلية هي القضمة الخاصة بـ LSB والقضمة الأعلى هي القضمة الخاصة بـ MSB.

تسمى المجموعة المكونة من 8 بتات أو 16 بت أو 32 بت أو 64 بت كلمة، طالما أن هذه المجموعة تنقل معلومات تتجاوز مجرد الإشارة إلى رقم. وتسمى المجموعة كلمة، على سبيل المثال، إذا كانت تعليمات منخفضة المستوى في الكمبيوتر. هناك أيضًا كلمة مكونة من 24 بت، لكن هذا ليس شائع الاستخدام اليوم.

يشير Endianness إلى الترتيب الذي تشكل به البايتات كلمة. خذ بعين الاعتبار الكلمة المكونة من 24 بت – 100100001111010100100010. تتكون هذه الكلمة من ثلاث بايت وهي:

10010000 11110101 00100010

البايت الأكثر أهمية هو البايت الأكثر يسارًا. عندما يكون البايت الموجود في أقصى اليسار هو البايت الأكثر أهمية والبايت الموجود في أقصى اليمين هو البايت الأقل أهمية، يُشار إلى ذلك باسم تمثيل Big Endian للكلمة. نسخة Little Endian هي عكس ذلك.

ذاكرة الكمبيوتر عبارة عن سلسلة من الخلايا، تحتوي كل خلية على بايت واحد. الخلية الأولى في ذاكرة الكمبيوتر مخصصة للبايت 0، والثانية للبايت 1، والثالثة للبايت 2، وهكذا. مع endianness الكبيرة والكلمة السابقة، يتم تخزين البايت الأكثر أهمية في خلية البايت 0، ويتم تخزين البايت الأوسط في خلية البايت 1، ويتم تخزين البايت الأقل أهمية في خلية البايت 2. وهذا يعني أن هناك بايت أكثر أهمية في خلية الذاكرة السفلية.

يمكن كتابة الكلمة السابقة المكونة من 24 بت بترتيب عكسي للبايتات كما يلي:

00100010 11110101 10010000

الآن، البايت الأقل أهمية موجود في أقصى اليسار والبايت الأكثر أهمية موجود في أقصى اليمين. عندما يكون البايت الموجود في أقصى اليسار هو البايت الأقل أهمية والبايت الموجود في أقصى اليمين هو البايت الأكثر أهمية، فهذا هو تمثيل Little Endian للكلمة. مع القليل من endianness وبالنسبة للكلمة السابقة، يتم تخزين البايت الأقل أهمية في خلية البايت 0، ويتم تخزين البايت الأوسط في خلية البايت 1، ويتم تخزين البايت الأكثر أهمية في خلية البايت 2. وهذا يعني أن هناك بايت أقل أهمية في خلية الذاكرة السفلية.

لا يتم استخدام Endianness للبتات في البايت. كما أنه لا يستخدم للقضم في البايت. يتم استخدامه فقط لترتيب البايت.

خط الأعداد
الرقم الذي لا يحتوي على علامة هو رقم موجب. الأرقام الموجبة هي أرقام تبدأ من الصفر صعودًا. الأرقام السالبة موجودة أيضا. يمكن عرض الأرقام الموجبة والسالبة على خط الأعداد. يوضح خط الأعداد التالي الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة (الأعداد الصحيحة) بالقرب من الصفر:

تتناقص الأرقام السالبة من الصفر إلى الأسفل (إلى اليسار). في كثير من الحالات، يعتبر الصفر إيجابيا. ومع ذلك، فإنه يعتبر سلبيا في بعض الحالات. ولهذا السبب توجد علامة زائد وعلامة ناقص أمام الصفر، في الترقيم السفلي، في الرسم التخطيطي. عندما يكون الرقم موجبًا، يمكن حذف إشارته؛ هذا هو الحال بالنسبة للترقيم العلوي في الرسم التخطيطي. لا يتم حذف علامة الطرح الموجودة أمام الرقم السالب أبدًا.

3.2 إضافة الأرقام الثنائية

في الإضافة:

أ + ب = س

يُطلق على A اسم الإضافة، ويُسمى B المُضاف، ويُسمى S المجموع.

خذ بعين الاعتبار الإضافة التالية لعددين موجبين في الأساس الثاني:

في الأساس الثاني، الأرقام الوحيدة الممكنة هي 0 و1. الجمع في الأساس 2 يشبه الجمع في الأساس 10، لكن الرقمين في الأساس الثاني هو صفر واحد (10). عندما يكون مجموع بتين في عمود هو 10، يتم كتابة 0 ويتم نقل 1 إلى العمود الأيسر مباشرة؛ ليتم إضافتها إلى مجموع البتتين هناك. عندما يكون المجموع الإجمالي ثلاثة، فهذا يعني 11 في الأساس الثاني. يتم كتابة اليمين 1 في 11 ويتم نقل 1 الأيسر لإضافته إلى مجموع بتات العمود الأيسر المباشرة. في كلتا الحالتين، الرقم 1 الذي يتم نقله إلى اليسار يسمى الحمل.

بقراءة جدول الجمع السابق من اليمين، في العمود الثاني (من اليمين) يوجد حمل ينتج من 1+1 = 10. في العمود الثالث، يوجد حمل ينتج عن 1+1+ حمل لـ 1 = 11. في العمود الرابع، يوجد حمل ينتج عن 0+1+ حمل 1 = 10. في العمود الخامس، لا يوجد حمل لأن الجمع هو 0+0+ حمل 1 = 1. بقية الأعمدة لا تتضمن أي حمل.

يبدأ عد الأعمدة من النهاية اليمنى. مع إضافة 16 بت، يمكن أن يكون هناك نقل من العمود الثامن إلى العمود التاسع (الانتقال إلى اليسار). والجدول التالي يوضح ذلك:

تتم العمليات الحسابية والمنطقية في المعالج الدقيق الموجود على اللوحة الأم للكمبيوتر.

بالنسبة لجهاز كمبيوتر مكون من 8 بتات، لا يمكن أن ينتقل النقل من البت الثامن إلى البت التاسع تلقائيًا بواسطة الأجهزة. لذلك، لإضافة مجموعتين من 16 بت في مثل هذا الكمبيوتر، يجب أن تتم عملية الإضافة مرتين في أزواج ذات ثمانية وثمانية بتات. يتم نقل الحمل والتأثير بواسطة البرنامج (البرمجة).

لإضافة رقمين، يمكن تحويل الأرقام أولاً إلى النموذج المكمل لهما (انظر أدناه) قبل الإضافة.

3.3 تكملة الاثنين وطرحها من الأرقام الثنائية

على اللوحة الأم للكمبيوتر، هناك الذاكرة وهناك المعالج الدقيق والدوائر الأخرى. الذاكرة عبارة عن سلسلة من الخلايا ذات ثمانية بتات. بالنسبة للبايت، يذهب كل بت إلى خلية. يحتوي المعالج الدقيق على عدد قليل من مواقع نوع الذاكرة. تسمى مواقع نوع الذاكرة هذه بالسجلات. لذلك، في الكمبيوتر، يمكن تخزين مجموعات البايتات مؤقتًا في الذاكرة أو في سجلات المعالج الدقيق.

في أي من هذه المخازن، يمكن لكل خلية أن تأخذ إما 1 أو 0، ولا شيء آخر. في الحياة هناك أرقام إيجابية وسلبية. يبدأ الرقم الموجب بعلامة الجمع (+) والرقم السالب يبدأ بعلامة السالب (-). عند حذف الإشارة، يعتبر الرقم رقمًا موجبًا.

من أجل حل مشكلة الإشارة إلى رقم في الكمبيوتر، يتم تخزين الأرقام الصحيحة في نطاقات. الأعداد الصحيحة هي أعداد صحيحة. إذا تم استخدام ثمانية بتات لتخزين نطاق الأرقام المحتملة، يتم استخدام البت الموجود في أقصى اليسار باعتباره بت الإشارة. إذا كان الرقم يبدأ بـ 0، فإن الرقم يكون رقمًا موجبًا. إذا كان يبدأ بـ 1، فإن الرقم يكون رقمًا سالبًا. إذا تم استخدام ستة عشر بتًا لتخزين نطاق الأرقام المحتملة، فسيتم استخدام البت الموجود في أقصى اليسار باعتباره بت الإشارة. إذا كان الرقم يبدأ بـ 0، فإن الرقم يكون رقمًا موجبًا. إذا كان يبدأ بـ 1، فإن الرقم يكون رقمًا سالبًا. تسمى الأرقام الموجودة في هذا النموذج بالأرقام الموقعة.

ومن الناحية العملية، يمكن أن تكون هناك أرقام موقعة لـ 8 بت، و16 بت، و32 بت، و64 بت. كلما زاد عدد البتات المستخدمة، زاد نطاق الأرقام المحتملة التي يمكن تخزينها.

الأعداد الصحيحة المكملة لاثنين
في حالة تكملة الاثنين، تكون الأرقام الموجبة هي أرقام العد العادية، باستثناء أن الرقم الموجود في أقصى اليسار هو 0. للحصول على الرقم السالب المقابل لأي رقم موجب معين، اقلب كل بت في الرقم وأضف 1 إلى النتيجة. عكس أو تكملة 0 هو 1. عكس أو تكملة 1 هو 0. توضح الجداول التالية الأرقام المكملة لبعض الرقمين في نطاقاتها:

الأرقام الثنائية الموجبة هي 00 و01 (أي صفر وواحد). في أقصى اليسار، يظهر الصفر أنها أرقام موجبة. 00 إلى حد ما في منتصف النطاق. للحصول على -1، وجد أن معكوس الرقم 01 هو 10. وبإضافة 1 إلى هذا (في أقصى اليمين) نحصل على 11.

نظرًا لاستخدام بتتين، لم يتبق سوى بت واحد لتمثيل الأرقام في النطاق الذي يتكون من الأرقام +1 و+0 و-1 المقابلة للأرقام 01 و00 و11. وتشير البتة الأولى إلى الإشارة. يحدث أن 10 لـ +2 ليس من بين هذه الأرقام الثنائية الثلاثة. 10 يبدأ بـ 1 مما يعني أنه يجب أن يكون رقمًا سالبًا في تكملة الاثنين. لذلك، يتم تضمين 10 في النطاق، ليعني -2.

مع وجود بتتين في مكمل اثنين، يكون عدد جميع الأعداد الصحيحة (الموجبة والسالبة) التي يمكن تمثيلها هو 2 ² = 4 وليس 2 ² -1 = 3. ينتج الفارق الدقيق عن إدراج الرقم السالب الأخير وهو سالب 2 ^numberwith – 1. في هذه الحالة، -2 ^2-1 = -2 ¹ = -2. لا يوجد +2 في نطاق الرقمين المكملين في 2 بت.

الأرقام الثنائية الموجبة هي من 0000 إلى 0111 (أي من صفر إلى سبعة). في أقصى اليسار، يظهر الصفر أنها أرقام موجبة. 0000 إلى حد ما في منتصف النطاق. للحصول على -1، يكون عكس الرقم 0001 هو 1110. وإضافة 1 إلى هذا (في أقصى اليمين) يعطي 1111. للحصول على -2، يكون عكس 0010 هو 1101. وإضافة 1 إلى هذا ( من أقصى اليمين) يعطي 1110. يتم تحديد الأرقام الثنائية السالبة الأخرى مثل -3 إلى -7 بالمثل.

نظرًا لاستخدام أربع بتات، يتم ترك ثلاث بتات لتمثيل الأرقام في النطاق وهي +7، +6، +5، +4، +3، +2، +1، +0، -1، -2، - 3، -4، -5، -6 و -7 الموافق 0111، 0110، 0101، 0100، 0011، 0010، 0001، 0000، 1111، 1110، 1101، 1100، 1011، 1010، و 1001.

يجب معالجة الرقم -8 الذي يتوافق مع 1000 بشكل منفصل. يشير البت الأول لكل هذه الأرقام إلى علامة 0 للأرقام الموجبة و1 للأرقام السالبة. يحدث أن الرقم 1000 ليس من بين هذه الأرقام الثنائية الأربعة عشر. 1000 يبدأ بـ 1 مما يعني أنه يجب أن يكون رقمًا سالبًا، فيما يتعلق بمكمل الاثنين. لذلك، تم تضمين 1000 في النطاق، ليعني -8.

مع وجود أربعة بتات في مكمل اثنين، يكون عدد جميع الأعداد الصحيحة (الموجبة والسالبة) التي يمكن تمثيلها هو 2 ⁴ = 16 وليس 2 ⁴ – 1 = 15. ينتج الفارق الدقيق عن إدراج الرقم السالب الأخير وهو سالب 2 ^{عرض الرقم} – 1. في هذه الحالة، -2 ⁴ -1 = -2 ³ = -8. لا يوجد +8 في نطاق الأرقام.

يمكن تطبيق التحليل السابق للبتتين والأربعة والبتات الأوسع في تكملة اثنين على أرقام ثنائية بعرض 8 بت و16 بت و32 بت و64 بت.

يضحي المكمل الثاني بالبت الأول (أقصى اليسار) لعلامة 0 للرقم الموجب و1 للرقم السالب. بالنسبة لمجموعة البتات الواسعة 'n'، يوجد 2 ^ن إجمالي الأرقام الإيجابية بالإضافة إلى الأرقام السلبية. سيكون 2 ^ن -1، لولا الرقم السالب الأخير (الأصغر) المحظوظ. أعلى رقم موجب هو +2 ^ن-1 -1 وأصغر عدد سالب هو -2 ^ن-1 -1. سيكون -2 ^ن-1 -1، لولا الحظ -2 ^ن-1 متضمنة.

طرح الأعداد في تكملة اثنين
في الطرح:

أ – ب = د

A يسمى الطرح، B يسمى المطروح، و D يسمى الفرق.

لطرح رقم ثنائي موجب واحد من رقم ثنائي موجب آخر، تتم كتابة الطرح في مكمل اثنين ويتم تحويل المطروح إلى القيمة التكميلية السالبة لاثنين. وبذلك تصبح العبارة الرياضية:

أ+ – ب = د

بمعنى آخر، في عملية الطرح المتممة لاثنين، يتم تحويل المطروح إلى رقم سالب ثم يضاف إلى المطرح.

مثال 3.31:
قم بتقييم التعبير العشري التالي في تكملة اثنين باستخدام أربع بتات:

6 - 4

حل:
الرقم الثنائي لـ 6 هو 110. في مكمل 4 بت اثنين، يكون 0110. الرقم الثنائي لـ +4 هو 100. في مكمل 4 بت اثنين، يكون 0100. 0100 والذي يجب تحويله إلى سالب 4 في اثنين المتممة كما يلي: تكملة أو قلب 0100 هو 1011. إضافة 1 إلى هذا من الطرف الأيمن، كما فعلنا بالإضافة إلى ذلك، يعطي 1100. إذن، التعبير العشري هو:

6 – 4 فيصبح:

0110 - 0100 وهو

0110 +(- 0100) = 0110 + 1100 كما في قسم الإضافة السابق كما يلي:

ملاحظة: 0110 +(- 0100) هو نفسه 6 + - 4

مع الطرح المكمل لاثنين، يتم التخلص من أي حمل بعد العمود الأخير إلى اليسار، في عملية الجمع. عند الطرح بالنظام العشري، تكون العبارة الرياضية كما يلي:

6 - 4 = 2

عند القيام بنفس الشيء في مكمل اثنين، فإن الإجابة هي 0010 وهو +2 في العد الثنائي المكمل لاثنين. الطرح السابق يطرح رقمًا أصغر من رقم أكبر. في المثال التالي، يتم طرح رقم أكبر من رقم أصغر. يمكن الرجوع إلى الجدول 3.32 لمعرفة ما إذا كان 0010 هو حقًا مكمل اثنين وهو ما يعادل +2.

مثال 3.32:
قم بتقييم التعبير العشري التالي في تكملة اثنين بأربعة بتات:

4 - 6

حل:
الرقم الثنائي لـ 4 هو 100. في مكمل 4 بت اثنين، يكون 0100. الرقم الثنائي لـ +6 هو 110. في مكمل 4 بت اثنين، يكون 0110. يجب تحويل 0110 إلى سالب 6 في مكمل اثنين كما يلي: تكملة أو قلب 0110 هو 1001. وإضافة 1 إلى هذا من الطرف الأيمن، كما فعلنا في الجمع السابق، يعطي 1010. إذن، التعبير العشري هو:

4 – 6 فيصبح:

0100 - 0110 وهو

0100 +(- 0110) = 0100 + 1010 كما في قسم الإضافة السابق كما يلي:

ملحوظة: 4+ – 6 هو نفس 0100 +(- 0110).

مع الطرح المكمل لاثنين، يتم التخلص من أي حمل بعد العمود الأخير إلى اليسار، في عملية الجمع. عند الطرح بالنظام العشري، تكون العبارة الرياضية كما يلي:

4 - 6 = -2

عند القيام بنفس الشيء في مكمل اثنين، فإن الإجابة هي 1110 وهو -2 في العد الثنائي المكمل لاثنين. يمكن الرجوع إلى الجدول 3.32 لمعرفة ما إذا كان 1110 هو حقًا مكمل اثنين وهو ما يعادل -2.

3.4 ضرب الأرقام الثنائية

في البيان:

أ × ب = ص

A يسمى المضاعف، B يسمى المضاعف، P يسمى المنتج. التعبير A x B يعني إضافة عدد A وB من المرات عندما يكون A وB أعدادًا صحيحة (أرقام صحيحة).

الضرب في النظام الثنائي هو نفس الضرب في النظام العشري. ومع ذلك، بدلاً من القيام بذلك بالنظام العشري، يتم تنفيذه بالنظام الثنائي. يتم ضرب التعبير العشري 42 × 10 بشكل ثنائي كما يلي حيث 42 ₁₀ = 101010 ₂ و 10 ₁₀ = 1010 ₂ :

تسمى الأرقام الأربعة التي تمت إضافتها بأنها منتجات جزئية. الجواب هو المنتج إضافة المنتجات الجزئية تتم بنفس الطريقة الموضحة سابقاً.

يمكن أيضًا رؤية الضرب على النحو التالي: في هذا الضرب الأساسي، إذا كانت البتة (الرقم) في المضاعف هي 1، فإن البتة الأقل أهمية من منتجها الجزئي هي البتة الأقل أهمية من المضاعف والتي يتم إعادة كتابتها مباشرة تحتها؛ وتتكرر بقية بتات المضاعف إلى اليسار. في هذا الضرب الأساسي، إذا كانت البتة (الرقم) في المضاعف هي 0، فإن منتجها الجزئي يتكون من 0 مع أقل بتة أهمية وهي 0 تحتها مباشرة. عدد جميع الأصفار هو عدد البتات في المضاعف.

3.5 تقسيم الأرقام الثنائية

في البيان:

أ ÷ ب = س

A يسمى المقسوم، B يسمى المقسوم عليه، P يسمى حاصل القسمة. وقد يكون الناتج مصحوبا بالباقي. التعبير A ÷ B يعني عدد المرات التي يمكن فيها إضافة B لإعطاء A أو الاقتراب منه بحيث يكون الباقي 0 أو أقل من B.

يمكن إجراء التقسيم بعدة طرق. القسم الموضح هنا هو قسم الترميم.

استعادة القسم
هذه هي طريقة القسمة المطولة التي يتم تعلمها في المدارس. إذا قسم 237 على 6، فإن الجواب هو 39 والباقي 3. 237 ₁₀ في الأساس 2 هو 11101101 ₂ و 6 ₁₀ في الأساس 2 هو 110 ₂ . 39 ₁₀ في الأساس 2 هو 100111 ₂ و3 ₁₀ في الأساس 2 هو 11 ₂ .

إذن، 11101101 ₂ مقسمة على 110 ₂ يعطي 100111 ₂ الباقي 11 ₂ في القاعدة الثانية. في طريقة الاستعادة، تكون الأرقام الثنائية أرقامًا عادية وليست بالضرورة مكملة لاثنين. الهيكل التالي يقسم 11101101 ₂ بمقدار 110 ₂ لإعطاء 100111 ₂ الباقي 11 ₂ :

يتم الطرح بشكل عادي وليس باستخدام تكملة الاثنين. وبما أن هذا هو الأساس الثاني، فإن الاقتراض هو اثنان وليس عشرة. الأرباح الجزئية هي 10، 101، 1011، 1010، و1001. 11 هو الباقي. نظرًا لأن المقسوم عليه يتكون من ثلاثة أرقام، فإن القسمة تتم أساسًا في مجموعات مكونة من ثلاثة أرقام من المقسوم المحدد. حاصل القسمة هو العدد الصحيح (العدد الصحيح)، وهو 100111 لهذه المشكلة. نتيجة القسمة والباقي كما هو متوقع.

3.6 العمليات الحسابية مع البرامج والأجهزة

اللوحة الأم للكمبيوتر لديها ساعة. تسمى دقات الساعة بالنبضات. في كل نبضة على مدار الساعة، يتم اتخاذ قرار واحد أو أكثر في أماكن مختلفة على اللوحة الأم؛ وهذا يتعلق بالبرمجة (البرمجيات).

يوجد داخل المعالج الدقيق نوعان من الدوائر تسمى: الدوائر المنطقية التوافقية والدوائر المنطقية التسلسلية. هناك نوع آخر من الدوائر يسمى معدد الإرسال. يمكن إجراء عمليات الجمع والضرب والقسمة خلال فترة زمنية واحدة باستخدام المنطق التوافقي (الدائرة). بينما تقوم البرمجة (البرمجيات) بتنفيذ القرار عند كل نبضة على مدار الساعة باستخدام الدوائر المنطقية التسلسلية ومضاعفات الإرسال.

عندما يتم الطرح باستخدام مكمل اثنين، فمن الضروري وجود نبضتين على مدار الساعة على الأقل. في نبضة الساعة الأولى، يقوم معدد الإرسال بتوجيه المطروح إلى مجموعة من بوابات NOT (بوابة NOT واحدة لكل رقم). عند نبضة الساعة الثانية، يضيف المنطق التوافقي 1 إلى خرج بوابات NOT ويستمر في إضافة المطروح والمطرح الناتج. كل هذه الإضافة يمكن أن تتم خلال فترة ساعة واحدة.

لا يزال من الممكن أن تكون عمليات الجمع والضرب والقسمة معطلة في البرمجة باستخدام جداول الحقيقة. ومع ذلك، لم يتم تغطيتها في هذه الدورة المهنية عبر الإنترنت.

3.7 العمليات المنطقية في المعالجات الدقيقة

و، أو، XOR، وعكس

و
يوضح الجدول التالي Bitwise AND. هذا يعني أنه بالنسبة لعددين ثنائيين مختلفين، فإن البتات المقابلة لها ANDed استنادًا إلى جدول AND Truth:

الانتقال من اليسار إلى اليمين، 1 و 1 = 1؛ 0 و 1 = 0؛ 0 و 0 = 0؛ 1 و 0 = 0؛ وهكذا وفقًا لجدول الحقيقة AND.

أو
يوضح الجدول التالي Bitwise OR. هذا يعني أنه بالنسبة لعددين ثنائيين مختلفين، يتم تحديد البتات المقابلة بناءً على جدول الحقيقة OR:

الانتقال من اليسار إلى اليمين، 1 أو 1 = 1؛ 0 أو 1 = 1؛ 0 أو 0 = 0؛ 1 أو 0 = 1؛ وهكذا وفقًا لجدول الحقيقة OR.

حر
يوضح الجدول التالي خاصية Bitwise الحصرية-OR. هذا يعني أنه بالنسبة إلى رقمين ثنائيين مختلفين، فإن البتات المقابلة تكون XORed استنادًا إلى جدول XOR Truth:

الانتقال من اليسار إلى اليمين، 1 XOR 1 = 0؛ 0 XOR 1 = 1; 0 XOR 0 = 0; 1 XOR 0 = 1; وهكذا وفقًا لجدول الحقيقة XOR.

عكس (لا)
يوضح الجدول التالي Bitwise NOT (عكس). هذا يعني أنه بالنسبة لرقم ثنائي واحد، هذه المرة، يتم قلب كل بتة بناءً على جدول NOT Truth:

الانتقال من اليسار إلى اليمين، ليس 1 = 0؛ ليس 0 = 1؛ ليس 0 = 1؛ ليس 1 = 0؛ وهكذا وفقًا لجدول NOT Truth.

التحول إلى اليمين أو اليسار

التحول إلى اليمين
يتم إزاحة الرقم الثنائي التالي بمقدار 3 بتات إلى اليمين، مع إدراج الأصفار في مواضع البت الفارغة على اليسار:

يمكن إجراء النقل لمكان واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، وما إلى ذلك.

تحول اليسار
يتم إزاحة الرقم الثنائي التالي بمقدار 3 بتات إلى اليسار، مع إدراج الأصفار في مواضع البت الفارغة على اليمين:

يمكن إجراء النقل لمكان واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، وما إلى ذلك.

تدوير اليمين أو اليسار

التدوير يشبه التحول. يتم ذلك قليلاً في كل مرة. عند التدوير لليمين، فإن البتات التي تترك الطرف الأيمن لا تسقط كما هو الحال في الإزاحة؛ فهي تستبدل البتات التي تم إخلاؤها على اليسار، واحدًا تلو الآخر. عند التدوير إلى اليسار، فإن البتات التي تترك الطرف الأيسر لا تسقط كما هو الحال في النقل؛ فهي تستبدل البتات التي تم إخلاؤها على اليمين، واحدًا تلو الآخر.

تدوير لليمين
يتم تدوير الرقم الثنائي التالي بمقدار 3 بتات إلى اليمين:

يمكن إجراء التدوير لمكان واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، وما إلى ذلك.

تدوير اليسار
يتم تدوير الرقم الثنائي التالي بمقدار 3 بتات إلى اليسار:

يمكن إجراء التدوير لمكان واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، وما إلى ذلك.

3.8 مجموعة أحرف ASCII وقيم التعليمات البرمجية الخاصة بها

يرمز ASCII إلى 'الرمز القياسي الأمريكي (الولايات المتحدة الأمريكية) لتبادل المعلومات'. تخيل لوحة مفاتيح بها 96 مفتاحًا. هذه لوحة مفاتيح مثالية حيث تختلف مفاتيح الأحرف الكبيرة عن مفاتيح الأحرف الصغيرة. يمثل كل مفتاح آخر حرفًا موجودًا على لوحة المفاتيح الإنجليزية (الولايات المتحدة الأمريكية). يتم سرد الأحرف والرموز (الأرقام المقابلة للأحرف) فيما يلي:

في هذا الجدول، أول 32 حرفًا (بما في ذلك الحرف الذي يحتوي على 00 ₁₆ = 0 ₁₀ code) هي أحرف غير قابلة للطباعة. هم شخصيات السيطرة. لا يمكن رؤيتها على الشاشة (الشاشة) حيث يكون كل شيء متساويًا. ليس لها إلا آثار. دعونا نناقش المزيد عن ذلك لاحقا.

بقية الشخصيات هي أحرف الطباعة؛ يتم رؤيتهم على الشاشة. هناك 128 حرف ASCII. 2 ⁷ = 128.1,111,111 ₂ = 127 ₁₀ . 7 في 2 ⁷ يعني 7 بت

الآن 1111111 ₂ + 1 ₂ بالضبط مثل:

هنا 10.000.000 ₂ = 128 ₁₀ . هناك 128 ₁₀ الأحرف في القائمة (الجدول) السابقة لأحرف ASCII. يتضمن ذلك الحرف الفارغ، الذي يكون رمزه في الأساس السادس عشر (النظام الست عشري) هو 00، وهو ما يعادل 0 في الأساس العاشر.

نظرًا لوجود 128 حرفًا إجمالاً، فإن 128 ناقص 32 حرفًا غير قابل للطباعة يعطي 96 حرفًا للطباعة. من المفترض في هذا القسم وجود لوحة مفاتيح مثالية تحتوي على 96 حرفًا وهي أحرف قابلة للطباعة. في لوحة المفاتيح المثالية هذه، تختلف مفاتيح الأحرف الإنجليزية الكبيرة عن مفاتيح الأحرف الإنجليزية الصغيرة.

يتم تمثيل كل حرف على لوحة المفاتيح برقمين أساسيين مكونين من 7 بتات، وهو ما لا يظهر في القائمة. على سبيل المثال، يتم تمثيل الحرف الكبير 'N' بالبتات السبعة 1001110 في الأساس 2. لتحويل 1001110 ₂ إلى الأساس 16، يسبقه الرقم 0 ويجمع النتيجة في مجموعات فرعية مكونة من أربع بتات كما يلي:

| 0100 | 1110 | ₂ = | 4 | ه | ₁₆

هذا هو 01001110 ₂ = 4E ₁₆ . لتحويل 4E ₁₆ للقاعدة العاشرة، قم بما يلي:

4 × (16) ¹ + ه س (16) ⁰ = 4 × 16 + ه × 1 = 4 × 16 + 14 × 1 = 64 + 14 = 78 ₁₀

على يمين 'N' في القائمة (الجدول) يوجد الرقم السداسي العشري 4E والرقم العشري 78.

وكمثال آخر، يتم تمثيل الحرف '[' بالبتات السبعة 1011011 في الأساس 2. لتحويل 1011011 ₂ إلى الأساس 16، يسبقه الرقم 0 ويجمع النتيجة في مجموعات فرعية مكونة من أربع بتات كما يلي:

| 0101 | 1011 | ₂ = | 5 | ب | ₁₆

هذا هو 01011011 ² = 5 ب ¹⁶ . لتحويل 5B16 إلى قاعدة عشرة، قم بما يلي:

5 × (16) ¹ + ب × (16) ⁰ = 5 × 16 + ب × 1 = 5 × 16 + 11 × 1 = 80 + 11 = 91 ₁₀

على يمين '[' في القائمة (الجدول) يوجد الرقم السداسي العشري 5B والرقم العشري 91.

وكمثال آخر، يتم تمثيل حرف الرقم العشري '5' بواسطة البتات السبعة 0110101 في الأساس 2، و لا 0000101 في الأساس 2. للتحويل 0110101 ₂ إلى الأساس 16، يسبقه الرقم 0 ويجمع النتيجة في مجموعات فرعية مكونة من أربع بتات كما يلي:

| 0011 | 0101 | ₂ = | 5 | ب | ₁₆

هذا هو 00110101 ₂ = 35 ₁₆ . لتحويل 3516 إلى الأساس عشرة، قم بما يلي:

3 × (16) ¹ + 5 × (16) ⁰ = 3 × 16 + 5 × 1 = 3 × 16 + 5 × 1 = 48 + 5 = 53 ₁₀

على يمين '5' في القائمة (الجدول) يوجد الرقم السداسي العشري 35 والرقم العشري 53.

نظرًا لأن الكمبيوتر يعمل بالبايت، فعند الضغط على أحد المفاتيح الموجودة على لوحة المفاتيح المثالية، يتم إرسال ثمانية بتات إلى المعالج الدقيق (اللوحة الأم). لوحة المفاتيح المثالية هي جهاز طرفي منفصل عن وحدة النظام (الأساسية) للكمبيوتر. يحتوي على دائرة إلكترونية (IC) تقوم بإنشاء البتات السبعة وتسبقها بصفر قبل إرسالها عبر الكابل الخاص بها إلى اللوحة الأم لوحدة النظام. من منفذ الإدخال (دائرة الإدخال) باللوحة الأم، ينتقل إلى المعالج الدقيق الموجود أيضًا على اللوحة الأم. ومن المعالج الدقيق، ينتقل إلى الذاكرة المثبتة أيضًا على اللوحة الأم.

لذلك، عند الضغط على المفتاح 'N' على لوحة المفاتيح المثالية، يتم نقل ثمانية بتات 01001110 إلى المعالج الدقيق. ومن المعالج الدقيق، يتم نقلها إلى الذاكرة حيث تبقى في موقع الذاكرة على شكل بايت. يجب على مبرمج الكمبيوتر أن يضع في اعتباره أن البتات الثمانية من 01001110 ₂ هو نفس 4E ₁₆ وهو نفس 78 ₁₀ .

عند الضغط على المفتاح '[' الموجود على لوحة المفاتيح المثالية، يتم نقل ثمانية بتات 01011011 إلى المعالج الدقيق. ومن المعالج الدقيق، يتم نقلها إلى الذاكرة حيث تبقى في موقع الذاكرة على شكل بايت. يجب على مبرمج الكمبيوتر أن يضع في اعتباره أن البتات الثمانية من 01011011 ₂ هو نفس 5B ₁₆ وهو نفس 91 ₁₀ .

عند الضغط على المفتاح '5' على لوحة المفاتيح المثالية، كحرف وليس كرقم عشري، يتم نقل ثمانية بتات 00110101 إلى المعالج الدقيق. ومن المعالج الدقيق، يتم نقلها إلى الذاكرة حيث تبقى في موقع الذاكرة على شكل بايت. يجب على مبرمج الكمبيوتر أن يضع في اعتباره أن البتات الثمانية من 00110101 ₂ هو نفسه 35 ₁₆ وهو نفس 5310 ₁₀ .

هناك أوقات يكون فيها البرنامج قيد التشغيل وينتظر إدخال الرقم العشري 5 في الكمبيوتر. في هذه الحالة، إذا تم الضغط على المفتاح '5' الموجود على لوحة المفاتيح المثالية، فسيتم نقل الكود المكون من ثمانية بتات وهو 00110101 إلى المعالج الدقيق. وبما أن المطلوب هو الرقم العشري 5، وليس الحرف '5'، فإن قطعة من التعليمات البرمجية (برنامج قصير) من الذاكرة تستخدم المعالج الدقيق لتحويل رمز الحرف 00110101 في الأساس الثاني إلى الرقم المكمل للاثنين 00000101 ₂ قبل إرسالها إلى موقع الذاكرة كبايت مكمل ثنائي. يجب على مبرمج الكمبيوتر أن يضع في اعتباره أن الرقم 00000101 يعني 5 ₁₀ في الأساس 2، وهو يختلف عن أرقام الكود 00110101 ₂ ، 35 ₁₆ ، و 53 ₁₀ مما يعني الحرف '5'. من أجل عرض الرقم المكمل للاثنين وهو 00000101 في الذاكرة، يجب على برنامج قصير آخر تحويل 00000101 من الذاكرة إلى 00110101. وهو 00110101 وهو نفس 35 ₁₆ وهو نفس 53 ₁₀ التي يتم عرضها على الشاشة (أو طباعتها على الورق بواسطة الطابعة).

3.9 تنسيق رقم النقطة العائمة

الرقم الذي لا يحتوي على جزء عشري هو عدد صحيح. الرقم 36 هو عدد صحيح. 36.375 ليس عددًا صحيحًا. وهو رقم عشري مع جزء عشري. الجزء العشري من .375 هو كسر أصغر من 1.

يتم تفسير 36.375 في شكل عشري على النحو التالي:

الآن:

يعني 100100 ₂ = 3610 وهو جزء العدد الصحيح من 36.375 ₁₀ .

الآن:

إذن 0.011 ₂ = 0.375 ₁₀ وهو الجزء العشري من 36.375 ₁₀ .

∴ 36,375 ₁₀ = 100100.011 ₂

ضعها بطريقة أخرى:

100100.011 ₂ = 36,375 ₁₀

يتم تمثيل الأرقام في الكمبيوتر بالأساس 2 وليس بالأساس 10، مع تساوي كل شيء. نظرًا لأن الخلية الموجودة في سجل المعالج الدقيق أو الخلية الموجودة في الذاكرة يمكن أن تأخذ فقط 1 أو 0، فلا يوجد مكان لتخزين العلامة العشرية. وهذا يشكل مشكلة. كحل، يوجد تمثيل IEEE-754 للفاصلة العائمة بدقة واحدة 32 بت وتمثيل النقطة العائمة IEEE-754 بدقة مزدوجة 64 بت.

تنسيق رقم النقطة العائمة 32 بت
يمكن التعبير عن الرقم 100100.0112 على النحو التالي:

100100.011 ₂ = 1.00100011 ₂ × 2 ⁺⁵

يُشار إلى الجانب الأيمن من الرمز = في الرياضيات باعتباره الشكل القياسي الأساسي للجانب الأيسر من 100100.011 ₂ .

الآن، 00100011 من 1.00100011 ₂ على الجانب الأيمن من الرمز =، بدون الرقم '1' السابق. وبدون 2 للقاعدة، يسمى الدلالة الصريحة. في هذه الحالة، يتم أخذ النقطة الثنائية خمسة أماكن إلى اليسار للحصول على الرقم '1'. لا تخلط بين العلامة العشرية والنقطة الثنائية. النقطة الثنائية مخصصة للأساس 2، بينما النقطة العشرية مخصصة للأساس 10. أما '1'. متبوعًا بالرقم 00100011 على الجانب الأيمن من الرمز =، بدون 2 للقاعدة، يشكل الدلالة الحقيقية. ومع ذلك، 1.00100011 يسمى الدلالة الضمنية.

بعد العلامة وعلى الجانب الأيمن يوجد 'x 2'. ⁺⁵ ' تعبير. مع هذا التعبير، يسمى +5 الأس. تعني علامة الزائد أنه يجب تحريك النقطة الثنائية خمسة أماكن للأمام حتى تكون في موضعها الأصلي الطبيعي و2 هي أساس الترقيم. يمكن كتابة المعادلة السابقة بشكل عكسي على النحو التالي:

1.00100011 ₂ × 2 ⁺⁵ = 100100.011 ₂

مع تمثيل النقطة العائمة 32 بت، يكون '1.00100011 ₂ × 2 ⁺⁵ ' الذي يتم استخدامه وليس فقط '100100.011 ₂ '. لم يتم تسجيل 2 للقاعدة. تمثيل النقطة العائمة 32 بت لـ '1.00100011 ₂ × 2 ⁺⁵ 'الرقم الذي يساوي 36.375 ₁₀ = 100100.011 ₂ ، كما هو مبين في الجدول التالي:

هناك مواضع 32 بت يتم ترقيمها من الطرف الأيمن، بدءًا من 0. البت الأول على الطرف الأيسر هو بت الإشارة. إذا كان الرقم موجبًا، فإن هذا البت هو 0. إذا كان الرقم سالبًا، فإن هذا البت هو 1 (-1 يتكون من حرفين ولا يمكن وضعه في أي خلية واحدة). 1.00100011 ₂ × 2 ⁺⁵ وهو ما يساوي 36.375 ₁₀ وهو ما يساوي أيضًا 100100.011 ₂ هو رقم موجب. لذا فإن البت الأول هو 0.

هناك ثمانية مواضع بت للأس، بدءًا من الموضع 30 إلى الموضع 23، بشكل شامل. ومع ذلك، فإن الأس المكتوب هناك هو 10000100 ₂ وهو ما يساوي 132 ₁₀ . أس عدد الفائدة هو في الواقع +5 للأساس اثنين. إذن، ماذا يحدث؟

الآن، بتنسيق 32 بت، يتم كتابة الأس 0 بالشكل 01111111 ₂ وهو ما يساوي 127 ₁₀ . +5 ₁₀ هو +101 ₂ . لذلك، في الوصول إلى 10000100 ₂ في الجزء الأسي في الجدول، 101 ₂ تمت إضافته إلى 01111111 ₂ بالمقابل. وهذا يعني أنه تمت إضافة 5 إلى 127 ليصبح لدينا 132 ₁₀ .

أما الدلالة، بدون الرقم '1'، فقد احتلت المركز 22 نزولاً إلى المركز 15 بشكل شامل. لاحظ أن 1 من '1'. لم تتم الإشارة إليه في السلسلة 32 بت. لم يتم الإشارة إلى ذلك أبدًا - اقبل ذلك. تمتلئ بقية الخلايا حتى الموضع 0 بالأصفار.

إذا كان الأس الفعلي هو -5، فسيتم طرح 5 من 127 ₁₀ أن يكون لديك 122 ₁₀ . وهذا يتوافق مع طرح 101 ₂ من 01111111 ₂ أن يكون لديك 01111010 ₂ .

مع كل الرسم التوضيحي السابق، الرقم +1 يساوي 1.0 × 2 ⁰ = 1.0 × 1 = 1.0 يتم تمثيلها على النحو التالي:

لاحظ أن '1.' من 1.0 × 2 ⁰ لم يتم الإشارة إليه في التنسيق. لم تتم الإشارة إليه أبداً. الكسر المختلط التالي الذي يذهب بشكل إيجابي بعد 1.0 هو:

لاحظ الرقم 1 في الطرف الأيمن. هذا التمثيل هو الرقم:

الفرق بين 1.0000001192092896 و 1.0 هو:

1.0000001192092896 – 1.0 = 0.0000001192092896

الأرقام ذات الأجزاء العشرية هي كسور مختلطة. ليس كل الكسور بين 1 ₁₀ و 2 ₁₀ يمكن تمثيلها على الكمبيوتر. يمكن الافتراض أن أصغر فجوة كسرية بين الأرقام المختلطة المتتالية بتنسيق الفاصلة العائمة 32 بت هي 0.0000001192092896. توقع أن يكون الفاصل الزمني للدقة المزدوجة أصغر. الرجوع إلى الرسم التوضيحي التالي.

تمثيل الرقم، 0.0 لا يتبع الوسائط السابقة. تم الإعلان عن تمثيل 0.0 ويجب تعلمه على هذا النحو. لتمثيل 0.0، تكون كافة الخلايا الخاصة بالدلالة 0 وجميع الخلايا الخاصة بالأس تكون أيضًا صفرًا. يمكن أن تكون بتة الإشارة 0 أو 1. ولسوء الحظ، يؤدي هذا إلى ظهور موجب 0 وسالب 0 كما يلي:

في الحياة الحقيقية، هناك صفر واحد فقط. الموجب 0 والسالب 0 غير موجودين. ومع ذلك، 0 عادة ما يعتبر إيجابيا. يوجد هنا الموجب 0 والسالب 0 بسبب وصف التنسيق المحدد هذا. يمكن أن يحتوي خط الأعداد (انظر أعلاه) أيضًا على +0 و-0، لكن يوجد صفر واحد فقط.

تنسيق رقم النقطة العائمة 64 بت
يشبه تنسيق النقطة العائمة 64 بت تنسيق 32 بت، ولكن مع الاختلافات التالية:

• هناك 64 بت لتمثيل رقم.
• بعد بت الإشارة، هناك 11 بت للرقم الأسي.
• الرقم الأسي لمؤشر الصفر (2 ⁰ ) هو 1023 ₁₀ = 01111111111 ₂ .
• البتات الأحد عشر يتبعها 52 بت للدلالة الصريحة.
• يحتوي على نطاق أوسع من الأرقام من تنسيق 32 بت.

لاحظ أن '1.' الذي هو في بداية الدلالة ولا يزال غير مدرج ضمن الـ 64 بت، تمامًا كما لم يتم تضمينه ضمن الـ 32 بت لتنسيق 32 بت.

أحد أهم الاختلافات بين تنسيق 64 بت وتنسيق 32 بت هو أن الفرق بين الكسور المختلطة المتتالية في تنسيق 64 بت أصغر من تنسيق 32 بت.

في تنسيق 64 بت، يمكن حساب الفاصل الزمني (الفجوة) بين 1.0 والكسر المختلط التالي على النحو التالي:

1.0 هو

0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000 ₂

وهذا يعادل '1'، الذي لم تتم الإشارة إليه في السلسلة، مضروبًا في 2 مرفوعًا للأس (الفهرس) 0 (حيث يكون الأس 1023). ₁₀ = 01111111111 ₂ ل 2 ⁰ = 1). السلسلة 1.0 × 2 ⁰ .

الكسر المختلط التالي الأكبر من 1.0 هو:

0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000001 ₂

وهذا يعادل '1'. التي لم تتم الإشارة إليها في السلسلة، متبوعة بـ 51 صفرًا، ثم 1، مضروبًا في 2 مرفوعًا للأس 0 (حيث يكون الأس 1023) ₁₀ = 011111111112 ₂ ل 2 ⁰ = 1). هذا هو نفس:

+2 ⁰ × (1 + 2− ^-52 ) ≈ 1.000000000000002

≈ تعني تقريبًا يساوي.

الآن:

1.0000000000000002 – 1.0 ≈ 0.0000000000000002

قيمة الفاصل الزمني المقابلة لتنسيق 32 بت هي 0.0000001192092896 ≈ 0.00000012.

0.0000000000000002 أصغر بكثير من 0.00000012. لذلك، يوجد عدد أكبر بكثير من الكسور المختلطة بين عددين صحيحين متتاليين (على سبيل المثال 3 و 4) بتنسيق 64 بت مقارنة بعددين صحيحين متتاليين بتنسيق 32 بت.

عدد الكسور المختلطة بين عددين صحيحين متتاليين على خط الأعداد لا نهائي. لذلك، لا يمكن لأي تنسيق (على سبيل المثال 32 بت أو 64 بت) توفير جميع الكسور المختلطة بين أي عددين صحيحين متتاليين (أرقام صحيحة). كلما كانت الفجوة (الفاصل الزمني) أصغر بين عددين صحيحين متتاليين يوفرهما التنسيق (على سبيل المثال 32 بت أو 64 بت)، زاد عدد الكسور المختلطة بين الأعداد الصحيحة المتتالية (لخط الأعداد).

أسباب وصف تنسيق 64 بت بأنه دقة مزدوجة أو أعلى، مقارنة بتنسيق 32 بت، هي أن الفاصل الزمني بين كسرين مختلطين متتاليين يحدهما عددان صحيحان متتاليان لتنسيق 64 بت أصغر من 32 بت المقابلة الفاصل الزمني لتنسيق البت. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد أكبر من الكسور المختلطة المحتملة بين عددين صحيحين محددين لتنسيق 64 بت مقارنة بالتنسيق 32 بت.

تحويل الجزء العشري (الكسر) من الرقم العشري إلى جزء ثنائي
36.375 هو رقم عشري مع الجزء العشري من '.375'. الجزء العشري من '.375' هو كسر بين صفر وواحد. 0.5 في الأساس 10 هو نفس قيمة 1/2 في الأساس الثاني. 0.5 ₁₀ الذي يتم التعبير عنه بتوسيع القاعدة الثانية هو:

ليس 0.101 ₂ يعني 0.625 ₁₀ . الجزء العشري من الرقم العشري له جزء ثنائي مكافئ للرقم الثنائي المقابل. لذلك، لتحويل رقم عشري مثل 36.375 ₁₀ للقاعدة الثانية، قم بتحويل 36 إلى ثنائي ثم قم بتحويل .375 أيضًا إلى ثنائي. ثم قم بربط النتيجتين بالنقطة الثنائية. تختلف طرق تحويل القسمين. كيفية تحويل عدد صحيح عشري إلى الأساس 2 موضحة في الفصل الأول.

لتحويل الكسر العشري إلى كسر ثنائي، اتبع الخطوات التالية:

• اضرب الكسر العشري (الجزء العشري) في 2. العدد الصحيح الناتج عن ذلك هو الرقم الثنائي الأول.
• كرر الخطوة السابقة مع النتيجة العشرية الكسرية للحصول على الرقم الثنائي التالي.
• استمر في تكرار الخطوة السابقة حتى تصبح النتيجة الكسرية العشرية .0000—.

مثال: تحويل الجزء الكسري من 36.375 ₁₀ إلى الجزء الكسري المكافئ في الأساس الثاني.

حل:

لاحظ أنه في الخطوة الثالثة، تم ضرب .500 في 2 وليس 1.500. تتم قراءة الكسر الثنائي المقابل في العمود الأخير من الأعلى. وهكذا تكون النتيجة التالية:

.375 ₁₀ = .011 ₂

تحويل الجزء الثنائي (الكسر) من الرقم الثنائي إلى جزء عشري
ولتحقيق ذلك، قم بتوسيع الكسر الثنائي بقوى متبادلة تبلغ 2.

مثال: تحويل الجزء الكسري من 100100.011 ₂ إلى الجزء الكسري المكافئ في الأساس العشرة.

حل:

3.10 بادئات الأرقام في الحوسبة

في الحياة الطبيعية، 1 كيلو يعني 1000 والذي يتم اختصاره بالحرف k (أحرف صغيرة) كما هو الحال في 1 كجم. في الحوسبة، 1 كيلو يعني 2 ¹⁰ = 1024، ولكن يتم اختصارها بالحرف K (أحرف كبيرة) أي 1 كيلوبت. في الحياة الطبيعية، 1 ميغا يعني 1,000,000 والذي يتم اختصاره بالحرف M (أحرف كبيرة) كما في 1Mg. في الحوسبة، 1 ميجا يعني 2 ^عشرين = 1,048,576 = 2 ¹⁰ × 2 ¹⁰ = 1024 × 1024 = 1,048,576 ولا يزال يُختصر بالحرف M (أحرف كبيرة) كما هو الحال في 1 ميجابت. في الحياة العادية، 1 جيجا يعني أن 1,000,000,000 يتم اختصارها بالحرف G (أحرف كبيرة) كما في 1Gg. في الحوسبة، 1 جيجا يعني 2 ³⁰ = 1,073,741,824 = 2 ¹⁰ × 2 ¹⁰ × 2 ¹⁰ = 1024 × 1024 × 1024 = 1,073,741,824 ولا يزال يتم اختصاره بالحرف G (أحرف كبيرة) كما هو الحال في 1 جيجابت. يوضح الجدول التالي معنى أربع بادئات في الحياة العادية وفي الحوسبة:

3.11 المشاكل

يُنصح القارئ بحل جميع المشكلات الموجودة في الفصل قبل الانتقال إلى الفصل التالي.

1. ارسم خط أعداد يحتوي على أعداد صحيحة من -10 إلى +10.
2. أضف الأرقام الثنائية التالية في تكملة 8 بت اثنين: 101010 ₂ و 1111 ₂ .
3. استخدم فقط النهج المكمل للاثنين في 8 بتات لطرح الرقم الثنائي 1111 ₂ من الرقم الثنائي 101010 ₂ .
4. أوجد منتج 10110 ₂ × 1101 ₂ في القاعدة الثانية.
5. قسمة 36,375 ₁₀ بمقدار 1000 ₁₀ بالنظام العشري والثنائي، ومقارنة النتائج.
6. استخدم 8 بتات من اختيارك لتوضيح AND المنطقية، وOR، وXOR، وInvert، وShift Right، وShift Left، وRotate Right، وRotate Left. يجب أن تحتوي كل بايت على خليط من 1 و0.
7. أ) اكتب الرمز الرقمي لحرف ASCII وهو الصفر بالنظام الست عشري والثنائي والعشري.
   ب) اكتب الرمز الرقمي لحرف ASCII '1' بالنظام الست عشري والثنائي والعشري.
   ج) اكتب الرمز الرقمي لحرف ASCII للحرف 'A' بالنظام الست عشري والثنائي والعشري.
   د) اكتب الرمز الرقمي لحرف ASCII للحرف 'a' بالنظام الست عشري والثنائي والعشري.
8. تحويل 49.49 ₁₀ في القاعدة الثانية. قم بتحويل النتيجة إلى تنسيق النقطة العائمة IEEE 32 بت.
9. أ) كيف يختلف تنسيق النقطة العائمة IEEE 64 بت عن تنسيق 32 بت؟
   ب) أعط السببين المرتبطين بوصف تنسيق 64 بت بأنه دقة مضاعفة أو أعلى
   تنسيق 32 بت.